Transformasi geometri merupakan salah satu materi penting dalam matematika kelas 11 semester 3. Memahami konsep transformasi geometri tidak hanya berguna untuk menyelesaikan soal-soal ujian, tetapi juga penting sebagai dasar untuk mempelajari materi matematika yang lebih kompleks di masa mendatang, seperti kalkulus dan geometri analitik. Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai contoh soal transformasi geometri, lengkap dengan pembahasannya, yang diharapkan dapat membantu Anda menguasai materi ini dengan lebih baik.
Pengantar: Apa Itu Transformasi Geometri?
Transformasi geometri adalah proses mengubah posisi, ukuran, dan bentuk suatu objek (titik, garis, bidang) tanpa mengubah sifat-sifat dasarnya. Terdapat empat jenis transformasi geometri yang utama, yaitu:
- Translasi (Pergeseran): Memindahkan objek tanpa mengubah bentuk dan ukurannya.
- Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan objek terhadap suatu garis atau titik.
- Rotasi (Perputaran): Memutar objek terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu.
- Dilatasi (Penskalaan): Memperbesar atau memperkecil ukuran objek dengan faktor skala tertentu.
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri
Berikut adalah beberapa contoh soal transformasi geometri beserta pembahasannya yang mendalam:
1. Translasi (Pergeseran)
Soal: Titik A(3, -5) ditranslasikan oleh T(-2, 7). Tentukan koordinat bayangan titik A!
Pembahasan:
Translasi adalah pergeseran titik atau objek sepanjang vektor tertentu. Jika titik A(x, y) ditranslasikan oleh T(a, b), maka bayangan titik A, yaitu A'(x’, y’) dapat ditentukan dengan rumus:
- x’ = x + a
- y’ = y + b
Dalam soal ini, A(3, -5) ditranslasikan oleh T(-2, 7). Maka:
- x’ = 3 + (-2) = 1
- y’ = -5 + 7 = 2
Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(1, 2).
2. Refleksi (Pencerminan)
Soal: Tentukan bayangan titik B(4, 1) jika direfleksikan terhadap:
a. Sumbu X
b. Sumbu Y
c. Garis y = x
d. Garis y = -x
Pembahasan:
Refleksi adalah pencerminan titik atau objek terhadap suatu garis atau titik. Berikut adalah rumus refleksi untuk masing-masing kasus:
a. Refleksi terhadap Sumbu X: Jika titik B(x, y) direfleksikan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah B'(x, -y).
Dalam soal ini, B(4, 1) direfleksikan terhadap sumbu X, maka B'(4, -1).b. Refleksi terhadap Sumbu Y: Jika titik B(x, y) direfleksikan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah B'(-x, y).
Dalam soal ini, B(4, 1) direfleksikan terhadap sumbu Y, maka B'(-4, 1).c. Refleksi terhadap Garis y = x: Jika titik B(x, y) direfleksikan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah B'(y, x).
Dalam soal ini, B(4, 1) direfleksikan terhadap garis y = x, maka B'(1, 4).d. Refleksi terhadap Garis y = -x: Jika titik B(x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x, maka bayangannya adalah B'(-y, -x).
Dalam soal ini, B(4, 1) direfleksikan terhadap garis y = -x, maka B'(-1, -4).3. Rotasi (Perputaran)
Soal: Titik C(-2, 3) dirotasikan sebesar 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan titik C!
Pembahasan:
Rotasi adalah perputaran titik atau objek terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu. Berikut adalah rumus rotasi dengan pusat O(0, 0):
- Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam: C(x, y) → C'(-y, x)
- Rotasi 180°: C(x, y) → C'(-x, -y)
- Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam (atau 90° searah jarum jam): C(x, y) → C'(y, -x)
Dalam soal ini, C(-2, 3) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam, maka:
- C'(-3, -2)
Jadi, koordinat bayangan titik C adalah C'(-3, -2).
Soal: Titik D(5, -1) dirotasikan sebesar 180° dengan pusat O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan titik D!
Pembahasan:
Menggunakan rumus rotasi 180°: D(x, y) → D'(-x, -y)
Dalam soal ini, D(5, -1) dirotasikan 180°, maka:
- D'(-5, 1)
Jadi, koordinat bayangan titik D adalah D'(-5, 1).
4. Dilatasi (Penskalaan)
Soal: Titik E(2, 4) didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3. Tentukan koordinat bayangan titik E!
Pembahasan:
Dilatasi adalah memperbesar atau memperkecil ukuran titik atau objek dengan faktor skala tertentu. Jika titik E(x, y) didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k, maka bayangannya adalah E'(kx, ky).
Dalam soal ini, E(2, 4) didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3, maka:
- E'(3 2, 3 4) = E'(6, 12)
Jadi, koordinat bayangan titik E adalah E'(6, 12).
Soal: Segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 1), B(4, 1), dan C(1, 5) didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC!
Pembahasan:
Kita akan dilatasi setiap titik sudut segitiga ABC:
- A(1, 1) → A'(2 1, 2 1) = A'(2, 2)
- B(4, 1) → B'(2 4, 2 1) = B'(8, 2)
- C(1, 5) → C'(2 1, 2 5) = C'(2, 10)
Jadi, koordinat bayangan segitiga ABC adalah A'(2, 2), B'(8, 2), dan C'(2, 10).
Contoh Soal Gabungan Transformasi
Soal: Titik F(3, -2) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian ditranslasikan oleh T(1, 4). Tentukan koordinat bayangan akhir titik F!
Pembahasan:
Pertama, kita cerminkan titik F(3, -2) terhadap sumbu Y. Menggunakan rumus refleksi terhadap sumbu Y, kita dapatkan F'(-3, -2).
Kemudian, kita translasikan titik F'(-3, -2) oleh T(1, 4). Menggunakan rumus translasi, kita dapatkan:
- x’ = -3 + 1 = -2
- y’ = -2 + 4 = 2
Jadi, koordinat bayangan akhir titik F adalah F”(-2, 2).
Soal: Garis y = 2x + 1 dirotasikan sebesar 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0), kemudian didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 2. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut!
Pembahasan:
Soal ini memerlukan pemahaman yang lebih mendalam mengenai transformasi garis. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menemukan persamaan transformasi untuk koordinat (x, y) yang kemudian kita substitusikan ke persamaan garis awal.
-
Rotasi 90°:
- x’ = -y
- y’ = x
- Maka, x = y’ dan y = -x’
Substitusikan ke persamaan garis awal:
- -x’ = 2y’ + 1
- x’ = -2y’ – 1
-
Dilatasi dengan faktor skala 2:
- x” = 2x’
- y” = 2y’
- Maka, x’ = x”/2 dan y’ = y”/2
Substitusikan ke persamaan setelah rotasi:
- x”/2 = -2(y”/2) – 1
- x”/2 = -y” – 1
- x” = -2y” – 2
- x” + 2y” + 2 = 0
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah x + 2y + 2 = 0. (Kita hilangkan tanda double prime karena ini hanya notasi untuk tahapan transformasi).
Kesimpulan
Memahami dan menguasai transformasi geometri membutuhkan latihan yang konsisten. Dengan mempelajari contoh-contoh soal dan pembahasannya di atas, Anda dapat memperkuat pemahaman Anda mengenai konsep translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Jangan ragu untuk mencari sumber belajar lain dan berlatih mengerjakan soal-soal variasi untuk meningkatkan kemampuan Anda dalam menyelesaikan soal-soal transformasi geometri. Selamat belajar!
Tinggalkan Balasan